المنطق والعبارات في الرياضيات – العبارات الصائبة و الخاطئة
العبارات الشرطية
المنطق : سنبدأ أولا بالعبارات فحياتنا مليئة بالعبارات
وتعرف العبارة بأنها جملة خبرية صائبة أو خاطئة وليس كليهما وهناك جمل تتضمن الصنفين فتعتبر ليست عبارة .
ثانياً : أدوات الربط ……….
1. أداة الربط ( و ) ورمزها ( ^ )
فهنالك أكثر من جمل خبرية وعبارات مكونة من أكثر من جملة خبرية وممكن الربط بأداة الربط
و وبالرياضيات ^
ثانياً : أداة الربط ( أو ) ورمزها 7
ثالثا : أداة الرط إذا كان ……فإن ….., رمزها ( ــــــ> ) ونتأمل العبارتين الاتيتين :
1. ف: نجح عمر في الامتحان
2. ن: قدم والد عمر هدية لعمر
أي يعني العبارة شرطية : اذا نجحت في الامتحانسوف تحصل على هدية
إذاً ف ــــــــــ> ن
يمكن التعبير عن العبارة الشرطية :
1. إذا كانت ف فإن ن .
2. ف تؤدي إلى ن .
3. ن فقط إذا ف .
4. ن شرط لازم ل ف .
رابعاً : أداة الربط ثنائية الشرط ( …. إذا وفقط إذا ….) ورمزها ( <ــــــــ> )
توضيح : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة : (ف ـــــ>ن ) ^ (ن ــــــــ> ف)
تسمى عبارة ثنائية الشرط ويرمز لها بالرمز (ف<ــــــــــــ>ن ) وتقرأ ف إذا وفقط إذا ن
لقد قلنا عن العبارة وعرفناها سابقاً وسوف نتعرف الان على كيفية الحكم على صواب أو خطأ العبارة بقيمة الصواب لها وسوف نستخدم الرمز (ص) للدلالة على أن العبارة صائبة والرمز (خ) للدلالة على أن العبارة خاطئة .
مثال : أي الجمل الاتية تمثل عبارة وإذا كانت كذلك فما قيمة الصواب لها :
1. الربيع فصل من فصول السنة
2. عدد أيام شهر شباط 28 يوماً في السنة الكبيسة
3. هل السماء تمطر ؟
4. عكا مدينة ساحلية
5. ما هو تاريخ اليوم ؟
6. 5+2=4+4
7. مجموع قياسات زوايا المثلث 180 درجة ؟
الحل :
الجمل 1 , 4 , 7 عبارات وعليه فإن قيمة الصواب لها (ص)
الجمل 2 , 6 عبارات خاطئة وعليه فإن قيمة الصواب لها (خ) .
في حين أن الجمل 3 , 5 ليست عبارات ومن هنا ممكن الاستنتاج أن الجمل الاستفهامية ليست عبارات .
مثال آخر : حدد قيمة الصواب للعبارات الاتية :
ف: -5>-2
ن: 8=8
ل: العدد 1 أولي
م: مجموع الاعداد الصحيحة الطبيعية مجموعة الأعداد الصحيحة .
الحل : قيمة الصواب للهبارتين ف, ل هي (خ)
قيمة الصواب للعبارتين ن, م هي (ص)
نفي العبارة : ويمكننا أيضاً نفي العبارة فمثلاً:
ف : 2 عدد أولي
نفي العبارة ( ف ) يرمز له بالرمز ( ~ف )
أي تصبح العبارة : 2 ليس عدد أولي
وسوف أعود إلى أدوات الربط أيضاً :
أولاً : أداة الربط ( أو ) ويرمز لها رالبمز ( ^ )
وبشكل عام :
لتكن ف, ن أي عبارتين تكون (ف^ن ) صائبة إذا كانت كل من ف,ن صائبة وتكون خاطئة فيما عدا ذلك وللتوضيح أكثر :
ف ن ف^ن
ص ص ص
ص خ خ
خ ص خ
خ خ خ
مثال : جد قيمة الصواب لكل العبارات المركبة الاتيه :
1. 5+7 =9 و 2>3
2. مجموع قياسات المثلث يساوي 180 وعدد أضلاع المربع خمسة
الحل :
1. قيمة الصواب للعبارة الأولى هي (خ)
2. قيمة الصواب للعبارة الثانية (خ)
مثال:
ف: أضلاع المربع متساوية
ن: زوايا المربع قوائم
ل: قطرا المربع ينصف كل منهما الاخر
عبر بالكلمات عن العبارات المركبة الاتية :
1. ف^ن 2. ~ف ^ل 3. ن^~ل
الحل :
1. ف^ن : أضلاع المربع متساوية و زواياه قوائم
2. ~ف^ل : أضلاع المربع غير متساوية و قطراه ينصف كل منهما الاخر
3. ن^~ل : زوايا المربع قوائم و لا ينصف كل منهما الاخر
لاحظ كيف ننفي العبارة ……
ونعود الى أداة الرط الثانية ( أو ) ورمزها 7
ومثال :
ف : لايدور القمر حول الأرض
ن: تشرق الشمس من الغرب
فالعبارة المركبة منهما باستخدام أداة الربط أو هي :
ف 7 ن : لايدور القمر حول الأرض أو تشرق الشمس من الغرب وقيمة الصواب لها (خ) لأن كلا من ف,ن خاطئة ولتوضيح قيم الصواب لكل عبارتين مركبتين في هذه الأداة :
ف ن ف7ن
ص ص ص
ص خ ص
خ ص ص
خ خ خ
مثال :
جد قيمة الصواب للعبارات الاتيه :
1. 5 عدد فردي أو 7 عدد زوجي
2. 1+2 =5 أو 10 عدد زوجي
3. إما أن تكون الشمس أكبر من الأرض أو الديناصور حيوان منقرض
الحل : ومعرفة الحل يكون حسب التوضيح الذي قمت بتوضيحه بالأعلى :
1. قيمة الصواب (ص)
2. قيمة الصواب (ص)
3. قيمة الصواب (خ)
4. قيمة الصواب (ص)
ولا ننسى اداة الربط الشرطية : إذا كان …فإن ….., رمزها (ـــــــــ> )
وسوف أقوم بتوضيح قيمة الصواب بالنسبة لهذه الأداة لانني لم أقم بذكره :
والتوضيح :
ف ن ف ـــــ>ن
ص ص ص
ص خ خ
خ ص ص
خ خ ص
مثال : إذا كانت العبارة ف : المثلث متساوي الأضلاع
ن: المثلث متساوي الزوايا
عبري أو عبر عن لاعبارات الاتية بالكلمات :
1. ف ــــــ>ن 2. ~ن ـــ>~ف 3. ~ف7 ن
الحل :
1. ف ــــ>ن : إذا كان المثلث متساوي الأضاع فإنه متساوي الزوايا
2. ~ن ــــ>~ف : إذا كان المثلث غير متساوي الزوايا فإنه غير متساوي الأضلاع
3. ~ف7ن : إما ان المثلث غير متساوي الأضلاع أو أنه متساوي الزوايا
وسنقوم بعمل مثال معاكس :
لتكن ف: لدي وقت كافي
ن: أتلقى تدريبات رياضية
م: أضاعف دخلي
عبر بالرموز عن العبارات الاتيه :
1. إذا كان لدي وقت كافي فإنني إما سأعمل على مضاعفة دخلي أو أتلقى تدريبات رياضية
2. إذا ضاعفت دخلي أو كان لدي وقت كافي فإنني لن أتلقى تدريبات رياضية
3. إذا كان لدي وقت كافي فإنني سأتلقى تدريبات رياضية و إذا لم يكن لدي وقت كاف فإنني لن أضاعف دخلي .
الحل :
1. ف ـــــــ>ن ( م 7 ن )
2. ( م 7 ف ) ــــــــ> ~ن
3. ( ف ـــــــ> ن ) ^ ( ~ف ــــــــ> ~م ) .
وأيضاً أداة الربط ثنائية الشرطية ( …..إذا وفقط إذا …..)ورمزها ( < ـــــــــ> )
تعريفها : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة ( ف ــــــ>ن)^(ن ــــــ>ف)
تسمى ثنائية الشرطية ويرمز لها بالرمز ( ف<ــــــــ>ن ) وتقرأ (ف) إذا وفقط إذا (ن) .
وقيمة الصواب للعبارة ف<ـــــــــ>ن بالتوضيح :
ف ن ف ــــ>ن ن ـــــ>ف ف<ــــــ>ن
ص ص ص ص ص
ص خ خ ص خ
خ ص ص خ خ
خ خ ص ص ص
العبارات الشرطية
المنطق : سنبدأ أولا بالعبارات فحياتنا مليئة بالعبارات
وتعرف العبارة بأنها جملة خبرية صائبة أو خاطئة وليس كليهما وهناك جمل تتضمن الصنفين فتعتبر ليست عبارة .
ثانياً : أدوات الربط ……….
1. أداة الربط ( و ) ورمزها ( ^ )
فهنالك أكثر من جمل خبرية وعبارات مكونة من أكثر من جملة خبرية وممكن الربط بأداة الربط
و وبالرياضيات ^
ثانياً : أداة الربط ( أو ) ورمزها 7
ثالثا : أداة الرط إذا كان ……فإن ….., رمزها ( ــــــ> ) ونتأمل العبارتين الاتيتين :
1. ف: نجح عمر في الامتحان
2. ن: قدم والد عمر هدية لعمر
أي يعني العبارة شرطية : اذا نجحت في الامتحانسوف تحصل على هدية
إذاً ف ــــــــــ> ن
يمكن التعبير عن العبارة الشرطية :
1. إذا كانت ف فإن ن .
2. ف تؤدي إلى ن .
3. ن فقط إذا ف .
4. ن شرط لازم ل ف .
رابعاً : أداة الربط ثنائية الشرط ( …. إذا وفقط إذا ….) ورمزها ( <ــــــــ> )
توضيح : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة : (ف ـــــ>ن ) ^ (ن ــــــــ> ف)
تسمى عبارة ثنائية الشرط ويرمز لها بالرمز (ف<ــــــــــــ>ن ) وتقرأ ف إذا وفقط إذا ن
لقد قلنا عن العبارة وعرفناها سابقاً وسوف نتعرف الان على كيفية الحكم على صواب أو خطأ العبارة بقيمة الصواب لها وسوف نستخدم الرمز (ص) للدلالة على أن العبارة صائبة والرمز (خ) للدلالة على أن العبارة خاطئة .
مثال : أي الجمل الاتية تمثل عبارة وإذا كانت كذلك فما قيمة الصواب لها :
1. الربيع فصل من فصول السنة
2. عدد أيام شهر شباط 28 يوماً في السنة الكبيسة
3. هل السماء تمطر ؟
4. عكا مدينة ساحلية
5. ما هو تاريخ اليوم ؟
6. 5+2=4+4
7. مجموع قياسات زوايا المثلث 180 درجة ؟
الحل :
الجمل 1 , 4 , 7 عبارات وعليه فإن قيمة الصواب لها (ص)
الجمل 2 , 6 عبارات خاطئة وعليه فإن قيمة الصواب لها (خ) .
في حين أن الجمل 3 , 5 ليست عبارات ومن هنا ممكن الاستنتاج أن الجمل الاستفهامية ليست عبارات .
مثال آخر : حدد قيمة الصواب للعبارات الاتية :
ف: -5>-2
ن: 8=8
ل: العدد 1 أولي
م: مجموع الاعداد الصحيحة الطبيعية مجموعة الأعداد الصحيحة .
الحل : قيمة الصواب للهبارتين ف, ل هي (خ)
قيمة الصواب للعبارتين ن, م هي (ص)
نفي العبارة : ويمكننا أيضاً نفي العبارة فمثلاً:
ف : 2 عدد أولي
نفي العبارة ( ف ) يرمز له بالرمز ( ~ف )
أي تصبح العبارة : 2 ليس عدد أولي
وسوف أعود إلى أدوات الربط أيضاً :
أولاً : أداة الربط ( أو ) ويرمز لها رالبمز ( ^ )
وبشكل عام :
لتكن ف, ن أي عبارتين تكون (ف^ن ) صائبة إذا كانت كل من ف,ن صائبة وتكون خاطئة فيما عدا ذلك وللتوضيح أكثر :
ف ن ف^ن
ص ص ص
ص خ خ
خ ص خ
خ خ خ
مثال : جد قيمة الصواب لكل العبارات المركبة الاتيه :
1. 5+7 =9 و 2>3
2. مجموع قياسات المثلث يساوي 180 وعدد أضلاع المربع خمسة
الحل :
1. قيمة الصواب للعبارة الأولى هي (خ)
2. قيمة الصواب للعبارة الثانية (خ)
مثال:
ف: أضلاع المربع متساوية
ن: زوايا المربع قوائم
ل: قطرا المربع ينصف كل منهما الاخر
عبر بالكلمات عن العبارات المركبة الاتية :
1. ف^ن 2. ~ف ^ل 3. ن^~ل
الحل :
1. ف^ن : أضلاع المربع متساوية و زواياه قوائم
2. ~ف^ل : أضلاع المربع غير متساوية و قطراه ينصف كل منهما الاخر
3. ن^~ل : زوايا المربع قوائم و لا ينصف كل منهما الاخر
لاحظ كيف ننفي العبارة ……
ونعود الى أداة الرط الثانية ( أو ) ورمزها 7
ومثال :
ف : لايدور القمر حول الأرض
ن: تشرق الشمس من الغرب
فالعبارة المركبة منهما باستخدام أداة الربط أو هي :
ف 7 ن : لايدور القمر حول الأرض أو تشرق الشمس من الغرب وقيمة الصواب لها (خ) لأن كلا من ف,ن خاطئة ولتوضيح قيم الصواب لكل عبارتين مركبتين في هذه الأداة :
ف ن ف7ن
ص ص ص
ص خ ص
خ ص ص
خ خ خ
مثال :
جد قيمة الصواب للعبارات الاتيه :
1. 5 عدد فردي أو 7 عدد زوجي
2. 1+2 =5 أو 10 عدد زوجي
3. إما أن تكون الشمس أكبر من الأرض أو الديناصور حيوان منقرض
الحل : ومعرفة الحل يكون حسب التوضيح الذي قمت بتوضيحه بالأعلى :
1. قيمة الصواب (ص)
2. قيمة الصواب (ص)
3. قيمة الصواب (خ)
4. قيمة الصواب (ص)
ولا ننسى اداة الربط الشرطية : إذا كان …فإن ….., رمزها (ـــــــــ> )
وسوف أقوم بتوضيح قيمة الصواب بالنسبة لهذه الأداة لانني لم أقم بذكره :
والتوضيح :
ف ن ف ـــــ>ن
ص ص ص
ص خ خ
خ ص ص
خ خ ص
مثال : إذا كانت العبارة ف : المثلث متساوي الأضلاع
ن: المثلث متساوي الزوايا
عبري أو عبر عن لاعبارات الاتية بالكلمات :
1. ف ــــــ>ن 2. ~ن ـــ>~ف 3. ~ف7 ن
الحل :
1. ف ــــ>ن : إذا كان المثلث متساوي الأضاع فإنه متساوي الزوايا
2. ~ن ــــ>~ف : إذا كان المثلث غير متساوي الزوايا فإنه غير متساوي الأضلاع
3. ~ف7ن : إما ان المثلث غير متساوي الأضلاع أو أنه متساوي الزوايا
وسنقوم بعمل مثال معاكس :
لتكن ف: لدي وقت كافي
ن: أتلقى تدريبات رياضية
م: أضاعف دخلي
عبر بالرموز عن العبارات الاتيه :
1. إذا كان لدي وقت كافي فإنني إما سأعمل على مضاعفة دخلي أو أتلقى تدريبات رياضية
2. إذا ضاعفت دخلي أو كان لدي وقت كافي فإنني لن أتلقى تدريبات رياضية
3. إذا كان لدي وقت كافي فإنني سأتلقى تدريبات رياضية و إذا لم يكن لدي وقت كاف فإنني لن أضاعف دخلي .
الحل :
1. ف ـــــــ>ن ( م 7 ن )
2. ( م 7 ف ) ــــــــ> ~ن
3. ( ف ـــــــ> ن ) ^ ( ~ف ــــــــ> ~م ) .
وأيضاً أداة الربط ثنائية الشرطية ( …..إذا وفقط إذا …..)ورمزها ( < ـــــــــ> )
تعريفها : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة ( ف ــــــ>ن)^(ن ــــــ>ف)
تسمى ثنائية الشرطية ويرمز لها بالرمز ( ف<ــــــــ>ن ) وتقرأ (ف) إذا وفقط إذا (ن) .
وقيمة الصواب للعبارة ف<ـــــــــ>ن بالتوضيح :
ف ن ف ــــ>ن ن ـــــ>ف ف<ــــــ>ن
ص ص ص ص ص
ص خ خ ص خ
خ ص ص خ خ
خ خ ص ص ص